Regola di L'Hôpital: Enunciato, Condizioni e Applicazioni Calcolo
Teorema (Regola di L'Hôpital)
Siano \(f\) e \(g\) differenziabili su un intervallo aperto contenente \(a\) (eccetto possibilmente in \(a\)). Se
- \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = \lim\limits_{x\to a} g(x) = 0\) o \(\pm\infty\), e
- \(g'(x) \neq 0\) vicino \(a\) (eccetto possibilmente in \(a\)), e
- \(\lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) esiste (finito o \(\pm\infty\)),
allora
$$\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$
Forme Indeterminate Risolte
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) (dirette).
- \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(0^0\), \(1^\infty\), \(\infty^0\) (rewrite algebrico a forma quoziente).
Condizioni Critiche e Trappole
- Deve verificare forma indeterminata PRIMA di applicare.
- Limite quoziente derivate deve esistere (o essere \(\pm\infty\)).
- Applicazione ripetuta permessa se condizioni persistono.
- Non si applica se limite \(f'/g'\) non esiste (es. oscillatorio).
- Non sostituisce semplificazione algebrica quando più semplice.
Esempio
\(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\).
La Regola di L'Hôpital è uno strumento potente per valutare limiti indeterminati quando le sue ipotesi sono soddisfatte.